Akustische Signale

Unser Ohr nimmt Veränderungen des Luftdrucks unter bestimmten Bedingungen als Klangereignis wahr. Damit dies geschieht, müssen diese Veränderungen

• mit einer bestimmten Geschwindigkeit geschehen (ca. 40 ms)
• eine bestimmte Anzahl von Veränderungen nicht überschreiten (je nach Alter 13000 - 20000 pro Sekunde)
• eine bestimmte Intensität haben (je nach Alter der Person und Frequenz der Veränderungen min. 0.00001 Pa bei 1000 Hz, das entspricht einer Auslenkung von $10^{-9}$ cm am Trommelfell, 1/10 des Durchmessers eines Wasserstoffatoms!)

Akustische Signale können als Schalldruckveränderungen über der Zeit in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dargestellt werden. Die Abbildungen 1.1 und 1.2 zeigen solche Darstellungen.

Abbildung: Geräusch

Abbildung 1.2: Periodisches Signal (Ton)

Ein wichtiges, in der Natur nur annäherungsweise vorkommende Signalform entspricht der mathematischen Sinusfunktion:

$$f=A \sin 2\pi ft$$

Wobei $A$ die Amplitude, $f$ die Frequenz unt $t$ die Zeit angibt. (Siehe Abb.1.3)

Abbildung 1.3: Sinusschwingung

Diese Schwingung ist insofern interessant, als der Mathematiker de Fourier nachgewiesen hat, daß jede periodische Funktion als Überlagerung von (evtl. unendlich vielen) Sinusschwingungen mit ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz, eigener Amplitude und Phasenlage ausgedrückt werden kann.

$$F(t) = \sum_{n=0}^\infty A_n \sin (2\pi nft + \phi_n)$$

wobei $A_n$ die Amplitude der $n$-ten Teilschwingung und $\phi$ der Phasenwinkel ist.

Das mathematische Verfahren der sog. Fouriertransformation errechnet aus einer gegebenen Funktion die Amplituden und phasen der beteiligten Teilschwingung in der äquivalenten Form

$$F(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n \sin2\pi nft + b_n \cos 2\pi nft$$

die Paare $a_n,b_n$ heißen Fourierkoeffizienten und es gilt:

$$\begin{eqnarray*} a_n & = & A\cos\phi_n \\ b_n & = & A\sin\phi_n \\ a_n/b_n & = & \tan\phi_n \\ A_n & = & \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \end{eqnarray*}$$

Diese mathematische Gegebenheit wird z.B. in der sog. additiven Synthese ausgenutzt, um beliebige Signale aus einzelnen Sinuskomponenten zusammenzysetzen.